Вопрос школьника
Знайдіть сторона прямокутника, що має найбільшу площу з усіх прямокутників, периметр кожного з яких дорівнює 20 см
Ответ от учителя
Для розв’язання цієї задачі потрібно використати формулу для площі прямокутника: S = a * b, де a та b — довжини сторін прямокутника.
Також маємо умову, що периметр кожного прямокутника дорівнює 20 см. Периметр прямокутника можна обчислити за формулою: P = 2a + 2b.
Отже, маємо систему рівнянь:
2a + 2b = 20
a * b = S
Розв’язавши перше рівняння відносно b, отримаємо:
b = 10 — a
Підставляємо це значення b у друге рівняння:
a * (10 — a) = S
Розкриваємо дужки та спрощуємо:
10a — a^2 = S
Отримали квадратичне рівняння з від’ємним коефіцієнтом при a^2. Щоб знайти максимальне значення площі S, потрібно знайти вершину параболи, яка є точкою максимуму.
Вершина параболи знаходиться за формулою: a = -b/2a. Підставляємо коефіцієнти з рівняння та знаходимо a:
a = -10/(-2) = 5
Отже, довжина однієї сторони прямокутника дорівнює 5 см. Знаходимо другу сторону, використовуючи рівняння b = 10 — a:
b = 10 — 5 = 5
Отже, сторони прямокутника, який має найбільшу площу з усіх прямокутників з периметром 20 см, дорівнюють 5 см кожна. Площа цього прямокутника дорівнює:
S = 5 * 5 = 25 см^2.
