Вопрос школьника
Зная, что а < b, разделите обе части неравенства на число а - b: 1) a2-ab> 5аb – 5b2 2) а2 + b2- 2аb > 6а2b2 — 6ab3 3) а4 — 2a2b2 + b4 > (a- b)2; 4) а2 — 2аb + b2 < 24а2 – 24b2.
Ответ от учителя
1) Разделим обе части неравенства на (a-b):
$$frac{a^2-ab}{a-b}>frac{5ab-5b^2}{a-b}$$
$$frac{a(a-b)}{a-b}>frac{5b(a-b)}{a-b}$$
$$a>5b$$
Ответ: a>5b.
2) Разделим обе части неравенства на 2ab(при условии, что ab ≠ 0):
$$frac{a^2+b^2-2ab}{2ab}>frac{6ab-6b^2}{2ab^3}$$
$$frac{(a-b)^2}{2ab}>frac{6b(1-b)}{2b^3}$$
$$frac{(a-b)^2}{2ab}>frac{3(1-b)}{b^2}$$
$$frac{(a-b)^2}{2ab}-frac{3(1-b)}{b^2}>0$$
$$frac{(a-b)^2-6ab(1-b)}{2ab}>0$$
$$frac{a^2-2ab+b^2-6ab+6b^2}{2ab}>0$$
$$frac{(a-b)^2+5b^2-6ab}{2ab}>0$$
Ответ: $frac{(a-b)^2+5b^2-6ab}{2ab}>0$.
3) Разделим обе части неравенства на (a-b)²:
$$frac{a^4-2a^2b^2+b^4}{(a-b)^2}>frac{(a-b)^2}{(a-b)^2}$$
$$frac{(a^2-b^2)^2}{(a-b)^2}>1$$
$$frac{(a+b)(a-b)(a+b)(b-a)}{(a-b)(a-b)}>1$$
$$frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}>1$$
$$frac{a+b}{a-b}>1$$
$$a+b>a-b$$
$$2b>a$$
Ответ: 2b>a.
4) Разделим обе части неравенства на 24:
$$frac{a^2-2ab+b^2}{24}>frac{a^2-2ab+b^2}{24}-frac{2b^2}{24}$$
$$frac{a^2-2ab+b^2}{24}>frac{a^2-2ab+b^2-2b^2}{24}$$
$$frac{(a-b)^2}{24}>0$$
Ответ: $frac{(a-b)^2}{24}>0$.
