Вопрос школьника
Докажите, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. Пусть ΔАВС вписан в окружность с центром О
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения нам нужно использовать свойства окружностей и прямоугольных треугольников.
Пусть треугольник ΔАВС прямоугольный, причем гипотенуза АС является диаметром описанной окружности с центром О. Тогда угол ВАС равен 90 градусам, а углы ВОС и АОС являются прямыми.
Также из свойств окружностей следует, что угол ВОС равен половине угла ВАС, а угол АОС равен половине угла АСВ (угол, опирающийся на дугу, равен половине этой дуги).
Таким образом, угол ВОС равен 45 градусам, а угол АОС также равен 45 градусам. Значит, треугольник АОС равнобедренный, и середина гипотенузы АС является точкой пересечения медиан и высот этого треугольника.
Но так как описанная окружность является окружностью, проходящей через точки А, В и С, то центр этой окружности также лежит на пересечении медиан и высот треугольника ΔАВС. А это означает, что центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы АС.
Таким образом, мы доказали, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является серединой гипотенузы.
