Вопрос школьника
В треугольниках ABC и А₁В₁С₁ ВС = В₁C₁, АС=А₁С₁ и угол C = углу C₁. Биссектрисы ВК и AF треугольника ABC пересекаются в точке О, а биссектрисы В₁К₁ и A₁F₁ треугольника А₁В₁С₁ — в точке О₁. Докажите, что треугольник АВО равен треугольнику А₁В₁О₁
Ответ от учителя
Для начала заметим, что из условия следует, что треугольники ABC и А₁В₁С₁ равнобедренные, так как у них равны основания и два угла. Также заметим, что биссектрисы ВК и AF пересекаются в точке О, которая является центром вписанной окружности треугольника ABC. Аналогично, точка О₁ является центром вписанной окружности треугольника А₁В₁С₁.
Теперь рассмотрим треугольник АВО. Он является равнобедренным, так как углы ВАО и АОВ равны (они равны половине углов ВАС и АСВ соответственно, так как О лежит на биссектрисах этих углов). Также сторона АО равна стороне ВО, так как это радиус вписанной окружности треугольника ABC. Аналогично, рассмотрим треугольник А₁В₁О₁. Он также является равнобедренным, так как углы В₁А₁О₁ и А₁О₁В₁ равны (они равны половине углов В₁А₁С₁ и А₁С₁В₁ соответственно, так как О₁ лежит на биссектрисах этих углов). Сторона А₁О₁ равна стороне В₁О₁, так как это радиус вписанной окружности треугольника А₁В₁С₁.
Таким образом, мы доказали, что треугольник АВО равен треугольнику А₁В₁О₁.
