Вопрос школьника
Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены перпендикулярно друг к другу и находятся во взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 55). Найти напряженности H1 и H2 магнитного поля в точках M1 и M2, если токи I1=2 A и I2=3 A. Расстояния AM1=AM2=1 см и AB=2 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа, который позволяет найти магнитное поле в точке, создаваемое элементом проводника с током.
Для точки M1, находящейся на расстоянии 1 см от проводника с током I1, направленного вдоль оси y, магнитное поле будет создаваться элементами проводника, расположенными на расстоянии x=AB=2 см от точки M1.
Найдем напряженность магнитного поля в точке M1, создаваемое элементом проводника с током I1:
dB = (μ0/4π) * (I1 * dl × r) / r^3,
где μ0 — магнитная постоянная, dl — элемент проводника с током, r — расстояние от элемента проводника до точки M1.
Так как проводник бесконечно длинный, то можно считать, что элемент проводника dl находится на расстоянии x от точки M1 и параллелен оси y. Тогда:
dB = (μ0/4π) * (I1 * dl × r) / r^3 = (μ0/4π) * (I1 * dy × x) / (x^2 + y^2)^1.5,
где dy — длина элемента проводника, параллельного оси y.
Интегрируя данное выражение по всей длине проводника, получим:
H1 = ∫dB = (μ0/4π) * I1 * dy * x / (x^2 + y^2)^1.5 * ∫(-∞, +∞) = (μ0/4π) * I1 * dy / y.
Аналогично, для точки M2, находящейся на расстоянии 1 см от проводника с током I2, направленного вдоль оси x, магнитное поле будет создаваться элементами проводника, расположенными на расстоянии y=AB=2 см от точки M2.
Найдем напряженность магнитного поля в точке M2, создаваемое элементом проводника с током I2:
dB = (μ0/4π) * (I2 * dl × r) / r^3 = (μ0/4π) * (I2 * dx × y) / (x^2 + y^2)^1.5,
где dx — длина элемента проводника, параллельного оси x.
Интегрируя данное выражение по всей длине проводника, получим:
H2 = ∫dB = (μ0/4π) * I2 * dx * y / (x^2 + y^2)^1.5 * ∫(-∞, +∞) = (μ0/4π) * I2 * dx / x.
Таким образом, мы нашли выражения для напряженностей магнитного поля в точках M1 и M2:
H1 = (μ0/4π) * I1 * dy / y,
H2 = (μ0/4π) * I2 * dx / x.
Подставляя значения токов и расстояний, получаем:
H1 = (μ0/4π) * 2 * 0.02 / 0.01 = 10^-5 Тл,
H2 = (μ0/4π) * 3 * 0.02 / 0.01 = 1.5 * 10^-5 Тл.
Ответ: напряженность магнитного поля в точке M1 равна 10^-5 Тл, а в точке M2 — 1.5 * 10^-5 Тл.
