Вопрос школьника
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, Р — точка пересечения диагоналей четырёхугольника. Докажите, что АР* РС= ВР*PD.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой о пересекающихся хордах.
Пусть точка O — центр окружности, в которую вписан четырехугольник ABCD. Тогда диагонали AC и BD являются пересекающимися хордами, а точка P — их точка пересечения.
Из теоремы о пересекающихся хордах следует, что AP*PC=BP*PD.
Также известно, что диагонали четырехугольника ABCD являются перпендикулярами друг к другу, а значит, точка P является центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC и вокруг треугольника ACD.
Тогда AP и CP являются хордами этой окружности, а BP и DP — хордами окружности, описанной вокруг треугольника ABD и вокруг треугольника BCD соответственно.
Таким образом, получаем, что АР* РС= ВР*PD, что и требовалось доказать.
