Вопрос школьника
Дан квадрат ABCD. Найдите геометрическое место таких точек М плоскости, для которых:
а) Ма* МB = МС *MD б)MA*MB+MC*MD=0
в) MA*MB+MC*MD=AB^2
Ответ от учителя
а) Рассмотрим произведение Ма* МB и МС *MD. Заметим, что оно равно произведению диагоналей квадрата ABCD: Ма* МB * МС *MD = AB^2. Таким образом, геометрическое место точек М, для которых Ма* МB = МС *MD, является окружностью с центром в точке пересечения диагоналей квадрата ABCD и радиусом, равным половине длины диагонали.
б) Рассмотрим выражение MA*MB+MC*MD. Заметим, что оно равно нулю тогда и только тогда, когда точка М лежит на прямой, проходящей через середины сторон AB и CD квадрата ABCD. Действительно, пусть точка М лежит на этой прямой. Тогда MA=MC и MB=MD, откуда MA*MB+MC*MD=MA*MB+MA*MB=2MA*MB=0. Обратно, пусть MA*MB+MC*MD=0. Тогда MA*MB=-MC*MD. Рассмотрим отношение MA/MD и MB/MC. Оно равно -MB/MA, так как MA*MB=-MC*MD. Заметим, что -MB/MA — это тангенс угла между сторонами AB и CD. Таким образом, точка М лежит на прямой, проходящей через середины сторон AB и CD.
в) Рассмотрим выражение MA*MB+MC*MD. Заметим, что оно равно AB^2 тогда и только тогда, когда точка М лежит на окружности, описанной вокруг квадрата ABCD. Действительно, пусть точка М лежит на этой окружности. Тогда MA=MD и MB=MC, откуда MA*MB+MC*MD=MA*MB+MA*MB=2MA*MB=AB^2. Обратно, пусть MA*MB+MC*MD=AB^2. Тогда MA*MB=AB^2-MC*MD. Рассмотрим отношение MA/MD и MB/MC. Оно равно (AB^2-MC*MD)/(MA*MD), так как MA*MB=AB^2-MC*MD. Заметим, что (AB^2-MC*MD)/(MA*MD) — это отношение расстояний точки М до сторон AB и CD квадрата ABCD. Таким образом, точка М лежит на окружности, описанной вокруг квадрата ABCD.
