Вопрос школьника
Дан правильный тетраэдр. Вычислите угол φ, образованный:
а) его гранями;
б) плоскостями, проходящими через боковое ребро и высоту тетраэдра.
Ответ от учителя
Правильный тетраэдр имеет 4 равных равносторонних треугольника в качестве граней. Угол между любыми двумя гранями равен 70,53 градуса.
а) Угол φ, образованный гранями тетраэдра, будет равен углу между любыми двумя гранями, то есть 70,53 градуса.
б) Чтобы найти угол φ, образованный плоскостями, проходящими через боковое ребро и высоту тетраэдра, нужно сначала найти угол между боковым ребром и высотой. Этот угол можно найти, используя теорему Пифагора. Пусть a — длина бокового ребра, h — высота тетраэдра. Тогда длина отрезка, соединяющего середину бокового ребра с вершиной, равна a/2, а длина высоты, опущенной на этот отрезок, равна h√2/3. Теперь можно найти угол между боковым ребром и высотой, используя тригонометрические функции:
cos(φ/2) = (a/2) / (h√2/3)
φ/2 = arccos((a/2) / (h√2/3))
φ = 2arccos((a/2) / (h√2/3))
Таким образом, угол φ, образованный плоскостями, проходящими через боковое ребро и высоту тетраэдра, будет равен 2arccos((a/2) / (h√2/3)).
