Вопрос школьника
Діагональ трапеції перпендикулярна до бічної сторони.
Доведіть, що центр кола, описаного навколо трапеції,
лежить на середині більшої сторони
Ответ от учителя
Для доведення даного твердження розглянемо трикутник, утворений діагоналями трапеції та більшою стороною. Нехай цей трикутник має вершини A, B та C, де AB — більша сторона трапеції, а CD — діагональ, перпендикулярна до бічної сторони.
Оскільки діагональ трапеції перпендикулярна до бічної сторони, то трикутник ACD є прямокутним. Також, оскільки AD та BC — діагоналі трапеції, то вони мають однакову довжину (за властивостями трапеції). Отже, трикутник ABC є рівнобедреним.
Розглянемо тепер коло, описане навколо трапеції. Оскільки діагоналі трапеції є діаметрами цього кола, то точка перетину діагоналей (точка О) є центром кола.
За теоремою про кут, що стоїть на діаметрі кола, кут AOC є прямим. Оскільки трикутник ABC є рівнобедреним, то кут BAC також є прямим. Отже, точки A, B та C лежать на колі з діаметром AC.
Звідси випливає, що точка О, яка є центром кола, лежить на середині більшої сторони трапеції (на відстані, рівній половині довжини більшої сторони). Таким чином, твердження про те, що центр кола, описаного навколо трапеції, лежить на середині більшої сторони, доведено.
