Вопрос школьника
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, периметр треугольника CDO равен 18 см и AB = 6 см. Найдите AC + BD.
Ответ от учителя
Пусть $AC=x$ и $BD=y$. Так как диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то $CO=OD$ и $AO=OB$. Также из параллельности сторон $ABCD$ следует, что $angle ACD=angle BDC$ и $angle ADC=angle BAC$.
Рассмотрим треугольник $CDO$. Его периметр равен $18$, значит, $CD+DO+OC=9$. Так как $CO=OD$, то $CD=2cdot CO$. Подставляем это в уравнение и получаем $CO+CO+OC=9$, откуда $CO=3$.
Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Из условия $AB=6$ следует, что $AC+CB=6$. Так как $angle ADC=angle BAC$, то треугольники $ADC$ и $ABC$ подобны. Значит, $frac{AC}{CD}=frac{AB}{AD}$. Подставляем известные значения и получаем $frac{x}{2cdot 3}=frac{6}{AD}$, откуда $AD=4x$. Аналогично, из подобия треугольников $BDC$ и $ABC$ получаем $frac{y}{2cdot 3}=frac{6}{BD}$, откуда $BD=4y$.
Таким образом, $AC+CB+BD=x+6+y=6+4x+4y=6+4cdot AD+4cdot BD=4(AD+BD)=4cdot 4(x+y)=16(x+y)$. Из уравнения $AC+CB=6$ находим $y=6-x$, подставляем в предыдущее уравнение и получаем $x+6+(6-x)=16(x+y)$, откуда $x+y=frac{12}{5}$. Итак, $AC+BD=x+y=frac{12}{5}$ см.
