Вопрос школьника
Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O, периметры треугольников OAD и OBC относятся как 4 : 1, сумма оснований AD и BC равна 10 см. Найдите AD и BC.
Ответ от учителя
Обозначим длины диагоналей трапеции ABCD как AC и BD соответственно. Так как диагонали пересекаются в точке O, то точка O является серединой каждой из диагоналей, то есть AO = CO и BO = DO.
Рассмотрим треугольники OAD и OBC. По условию, их периметры относятся как 4 : 1, то есть:
OA + AD + OD : OB + BC + OC = 4 : 1
Заметим, что OA + OD = AC и OB + OC = BD, так как это суммы диагоналей. Тогда:
AC + AD : BD + BC = 4 : 1
Так как AD + BC = 10, то можно выразить одну из величин через другую:
AD = 10 — BC
Подставим это выражение в предыдущее уравнение:
AC + 10 — BC : BD + BC = 4 : 1
Умножим обе части на BD + BC:
AC(BD + BC) + 10(BD + BC) — BC(BD + BC) = 4(BD + BC)
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
ACBD + ACBC + 10BD + 10BC — BCD^2 — BC^2 = 4BD + 4BC
ACBD — 3BD = BC^2 — ACBC + 10BC — BC^2 + 10BD — 4BD
ACBD — 3BD = 10BC — ACBC + 6BD
ACBD — 9BD = BC(10 — AC)
Так как AC и BD — это диагонали трапеции, то они равны между собой:
AC = BD
Подставим это выражение в последнее уравнение:
AC^2 — 9BD = BC(10 — AC)
BD(AC — 9) = BC(10 — AC)
BD/BC = (10 — AC)/(AC — 9)
Так как AC = BD, то:
BD/BC = (10 — BD)/(BD — 9)
Решим это уравнение:
BD(BD — 9) = BC(10 — BD)
BD^2 — 9BD = 10BC — BD*BC
BD^2 — 9BD + BD*BC — 10BC = 0
BD^2 — (9 — BC)BD — 10BC = 0
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
D = (9 — BC)^2 + 40BC
D = BC^2 — 18BC + 81 + 40BC
D = BC^2 + 22BC + 81
Найдем корни этого уравнения:
BD = (9 — BC + sqrt(D))/2
BD = (9 — BC — sqrt(D))/2
Так как BD > BC, то подходит только первый корень:
BD = (9 — BC + sqrt(BC^2 + 22BC + 81))/2
Теперь можем найти AC:
AC = BD = (9 — BC + sqrt(BC^2 + 22BC + 81))/2
Осталось найти BC. Для этого подставим найденные значения AC и BD в уравнение:
AC + AD : BD + BC = 4 : 1
(9 — BC + sqrt(BC^2 + 22BC + 81))/2 + (10 — BC) : 2BD + BC = 4 : 1
(19 — 2BC + sqrt(BC^2 + 22BC + 81)) : (2BD + BC) = 4 : 1
Подставим найденное значение BD:
(19 — 2BC + sqrt(BC^2 + 22BC + 81)) : (BC + (9 — BC + sqrt(BC^2 + 22BC + 81))/2) = 4 : 1
Решим это уравнение:
19 — 2BC + sqrt(BC^2 + 22BC + 81) = 4BC + 36 — 2BC + sqrt(BC^2 + 22BC + 81)
15 = 6BC
BC = 2.5
Тогда AD = 10 — BC = 7.5
Ответ: AD = 7.5 см, BC = 2.5 см.
