Вопрос школьника
Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Среднее арифметическо и среднее геометрическое площадей треугольников BOC и AOD равны S1 и S2. Найдите площадь трапеции.
Ответ от учителя
Пусть диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Тогда, по свойству диагоналей трапеции, точка O является серединой отрезка, соединяющего основания трапеции: AO = OD и BO = OC.
Рассмотрим треугольники BOC и AOD. Они имеют общую высоту, которая равна расстоянию между основаниями трапеции: h = CD. Поэтому среднее арифметическое и среднее геометрическое их площадей будут равны:
S1 = (SBOC + SAOD) / 2
S2 = √(SBOC × SAOD)
Заметим, что треугольники BOC и AOD равнобедренные, так как AO = OD и BO = OC. Поэтому высоты этих треугольников, опущенные на основания, будут равны:
h1 = BO × sin(∠BOC) = OC × sin(∠BOC)
h2 = AO × sin(∠AOD) = OD × sin(∠AOD)
Так как ∠BOC = 180° — ∠AOD (сумма углов при вершине), то sin(∠BOC) = sin(∠AOD), и мы получаем:
h1 = h2 = h
Теперь мы можем выразить площади треугольников через высоту h:
SBOC = 1/2 × BO × h
SAOD = 1/2 × AO × h
Подставляя эти выражения в формулы для S1 и S2, получаем:
S1 = 1/2 × (BO + AO) × h
S2 = √(1/4 × (BO + AO)² × h²)
Так как BO + AO = AB и CD (сумма противоположных сторон трапеции), то мы можем выразить S1 и S2 через площадь трапеции S:
S1 = S/2
S2 = √(S²/16)
Таким образом, мы получаем систему уравнений:
S1 = S/2
S2 = √(S²/16)
Решая ее, находим:
S = 4S1 = 2S2
То есть площадь трапеции равна удвоенному среднему геометрическому площадей треугольников BOC и AOD.
