Вопрос школьника
Диагонали выпуклого четырёхугольника равны а и b, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны между собой. Найдите площадь четырёхугольника.
Ответ от учителя
Пусть ABCD — наш выпуклый четырехугольник, AC и BD — его диагонали, M и N — середины сторон AB и CD соответственно. Также пусть отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны между собой и равны x.
Так как M и N — середины сторон, то AM = MB и CN = ND. Также, так как отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны между собой, то AM = ND и BM = CN.
Рассмотрим треугольники AMN и BMD. Они равны по двум сторонам и углу между ними (стороны AM и BM равны, стороны MN и MD равны, угол AMN равен углу BMD, так как они соответственные углы при параллельных прямых). Значит, треугольники AMN и BMD равны.
Таким образом, AN = DM и MN = BD/2. Из этого следует, что AD = 2AN = 2DM и BD = 2MN.
Рассмотрим треугольник ABD. Он прямоугольный, так как диагонали пересекаются под прямым углом. По теореме Пифагора:
AB^2 + BD^2 = AD^2
AB^2 + (2MN)^2 = (2AN)^2
AB^2 + 4MN^2 = 4AN^2
AB^2 + 4x^2 = 4(AC^2 — a^2/4)
Аналогично, рассмотрим треугольник BCD. Он тоже прямоугольный, и по теореме Пифагора:
BC^2 + BD^2 = CD^2
BC^2 + (2MN)^2 = (2DM)^2
BC^2 + 4MN^2 = 4DM^2
BC^2 + 4x^2 = 4(b^2/4 — BD^2)
Сложим эти два уравнения:
2AB^2 + 2BC^2 + 8x^2 = 4(AC^2 + b^2/4 — a^2/4 — BD^2)
AB^2 + BC^2 + 4x^2 = 2(AC^2 + b^2/4 — a^2/4 — BD^2)
Но мы знаем, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны между собой и равны x. Значит, AM = ND = CN = BM = x. Тогда AC = 2x + a и BD = 2x + b.
Подставим это в предыдущее уравнение:
AB^2 + BC^2 + 4x^2 = 2((2x + a)^2/4 + b^2/4 — a^2/4 — (2x + b)^2/4)
AB^2 + BC^2 + 4x^2 = (a^2 + 2ab + b^2)/4
AB^2 + BC^2 + 16x^2 = a^2 + 2ab + b^2
Но мы также знаем, что диагонали равны, то есть a = b. Подставим это в последнее уравнение:
AB^2 + BC^2 + 16x^2 = 2a^2
AB^2 + BC^2 = 2a^2 — 16x^2
Теперь мы можем найти площадь четырехугольника. Разобьем его на два треугольника ABC и ACD. Их площади можно найти по формуле Герона:
S_ABC = sqrt(p_ABC(p_ABC — AB)(p_ABC — BC)(p_ABC — AC))
S_ACD = sqrt(p_ACD(p_ACD — AC)(p_ACD — CD)(p_ACD — BD))
где p_ABC и p_ACD — полупериметры треугольников ABC и ACD соответственно:
p_ABC = (AB + BC + AC)/2
p_ACD = (AC + CD + BD)/2
Подставим известные значения:
p_ABC = (2a + 2x + 2x)/2 = a + 2x
p_ACD = (2a + 2x + 2x)/2 = a + 2x
S_ABC = sqrt((a + 2x)(a + 2x — AB)(a + 2x — BC)(a + 2x — AC))
S_ACD = sqrt((a + 2x)(a + 2x — AC)(a + 2x — CD)(a + 2x — BD))
Также мы знаем, что AM = BM = CN = DN = x. Значит, высоты треугольников ABC и ACD на этих сторонах равны x. Тогда:
S_ABC = (1/2)AB*x
S_ACD = (1/2)CD*x
Подставим это в общую формулу для площади четырехугольника:
S = S_ABC + S_ACD = (1/2)AB*x + (1/2)CD*x = (1/2)(AB + CD)*x
Но мы знаем, что AB = CD = a. Подставим это:
S = (1/2)(a + a)*x = ax
Таким образом, площадь четырехугольника равна произведению длины одной из диагоналей на половину отрезка, соединяющего середины противоположных сторон:
S = ax.
