Вопрос школьника
Длина одного из оснований равнобедренной трапеции втрое больше длины другого основания. Из середины большего основания меньшее видно под углом в два раза меньшем, чем угол, под которым большее основание видно из середины меньшего. Найдите величины этих углов.
Ответ от учителя
Пусть длина меньшего основания равна $a$, тогда длина большего основания равна $3a$ (так как одно из оснований втрое больше другого). Обозначим середину меньшего основания как точку $M$, а середину большего основания как точку $N$. Пусть угол, под которым большее основание видно из середины меньшего, равен $alpha$, а угол, под которым меньшее основание видно под углом в два раза меньшем, равен $beta$.
Так как трапеция равнобедренная, то боковые стороны равны между собой. Обозначим боковую сторону как $b$. Тогда, по теореме косинусов, для треугольника $MNB$ имеем:
$$cos alpha = frac{b^2 + (3a)^2 — (2b cdot 3a) cos beta}{2b cdot 3a}$$
Также, по теореме косинусов, для треугольника $MAB$ имеем:
$$cos beta = frac{b^2 + a^2 — (2b cdot a) cos alpha}{2b cdot a}$$
Решая эту систему уравнений относительно $cos alpha$ и $cos beta$, получаем:
$$cos alpha = frac{3a^2 — b^2}{6ab}$$
$$cos beta = frac{a^2 + b^2}{2ab}$$
Теперь можем найти синусы углов $alpha$ и $beta$:
$$sin alpha = sqrt{1 — cos^2 alpha} = frac{sqrt{27a^4 — 6a^2b^2 + b^4}}{6ab}$$
$$sin beta = sqrt{1 — cos^2 beta} = frac{sqrt{4a^2b^2 — (a^2 + b^2)^2}}{2ab}$$
Таким образом, мы нашли значения углов $alpha$ и $beta$ через длины оснований $a$ и $3a$ и боковую сторону $b$.
