Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом, если М(-5; 1), N(-4; 4), Р(-1; 5), Q(-2; 2).
Ответ от учителя
Для того чтобы доказать, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом, необходимо проверить выполнение двух условий:
1. Противоположные стороны параллельны.
2. Противоположные стороны равны.
Для начала найдём координаты векторов, соответствующих сторонам четырёхугольника:
MN = N — M = (-4; 4) — (-5; 1) = (1; 3)
PQ = Q — P = (-2; 2) — (-1; 5) = (-1; -3)
MP = P — M = (-1; 5) — (-5; 1) = (4; 4)
NQ = Q — N = (-2; 2) — (-4; 4) = (2; -2)
Теперь проверим выполнение первого условия. Для этого вычислим скалярное произведение векторов MN и PQ:
MN * PQ = (1; 3) * (-1; -3) = -1 — 9 = -10
Если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны, а если оно отрицательно, то векторы не параллельны. В данном случае скалярное произведение отрицательное, поэтому первое условие не выполнено.
Однако, можно проверить выполнение второго условия. Для этого вычислим длины сторон четырёхугольника:
MN = sqrt(1^2 + 3^2) = sqrt(10)
PQ = sqrt((-1)^2 + (-3)^2) = sqrt(10)
MP = sqrt(4^2 + 4^2) = 4*sqrt(2)
NQ = sqrt(2^2 + (-2)^2) = 2*sqrt(2)
Видно, что стороны MN и PQ равны, а стороны MP и NQ равны и равны по длине диагонали параллелограмма. Таким образом, выполнено второе условие, а значит, четырёхугольник MNPQ является параллелограммом.
