Вопрос школьника
Докажите, что движение переводит параболы в параболы. Какое движение переводит параболу у = х^2 в параболу у^2 = х?
Ответ от учителя
Движение — это преобразование плоскости, которое сохраняет расстояния между точками. При этом, если мы имеем какую-то фигуру на плоскости, то движение переводит ее в другую фигуру, которая имеет те же свойства, что и исходная фигура.
Парабола — это геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и директрисы. Уравнение параболы в общем виде имеет вид y = ax^2 + bx + c, где a, b, c — константы.
Движение переводит параболы в параболы, потому что оно сохраняет расстояния между точками. Если мы возьмем две точки на исходной параболе и переведем их в другую параболу, то расстояние между ними останется неизменным.
Чтобы понять, какое движение переводит параболу y = x^2 в параболу y^2 = x, нужно рассмотреть, какие свойства имеют эти параболы.
Парабола y = x^2 имеет фокус в точке (0, 1/4) и директрису y = -1/4. Она симметрична относительно оси y и имеет вершину в точке (0, 0).
Парабола y^2 = x имеет фокус в точке (1/4, 0) и директрису x = 1/4. Она симметрична относительно оси x и имеет вершину в точке (0, 0).
Чтобы перевести параболу y = x^2 в параболу y^2 = x, нужно сделать следующее преобразование:
1. Сдвинуть параболу y = x^2 на 1/4 вверх, чтобы ее вершина была в точке (0, 1/4).
2. Повернуть параболу на 90 градусов против часовой стрелки вокруг точки (0, 1/4).
3. Сдвинуть параболу на 1/4 вправо, чтобы ее вершина была в точке (1/4, 1/4).
Это преобразование называется параболическим сдвигом и поворотом. Оно переводит параболу y = x^2 в параболу y^2 = x.
Таким образом, движение переводит параболы в параболы, и параболический сдвиг и поворот переводит параболу y = x^2 в параболу y^2 = x.
