Вопрос школьника
Докажите, что если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой о центральном угле и дуге.
Пусть у нас есть четырехугольник ABCD, у которого сумма противоположных углов равна 180°. Тогда углы A и C, а также углы B и D являются смежными углами, и их сумма равна 360°.
Рассмотрим дуги AB, BC, CD и DA, которые соответствуют этим углам. Так как сумма углов, образованных этими дугами, равна 360°, то эти дуги образуют полную окружность.
Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ABCD можно описать окружностью, проходящей через его вершины.
Для того чтобы окружность была единственной, необходимо, чтобы все четыре вершины лежали на одной окружности. Это условие выполнено, если и только если углы A и C, а также углы B и D являются смежными и дополнительными, то есть каждый из них равен 90°.
Таким образом, мы доказали, что если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность, и эта окружность единственна тогда и только тогда, когда все углы четырехугольника равны 90°.
