Вопрос школьника
Докажите, что n! ≤ n^n.
Ответ от учителя
Докажем данное утверждение методом математической индукции.
База индукции: при n=1 получаем 1! = 1 ≤ 1^1 = 1, что верно.
Предположение индукции: пусть для некоторого n верно, что n! ≤ n^n.
Шаг индукции: докажем, что (n+1)! ≤ (n+1)^(n+1).
(n+1)! = (n+1) * n! ≤ (n+1) * n^n (по предположению индукции)
Заметим, что (n+1) * n^n = (n+1)^n * (n+1)^1 = (n+1)^n * (n+1).
Таким образом, получаем:
(n+1)! ≤ (n+1)^n * (n+1) = (n+1)^(n+1)
Что и требовалось доказать.
Таким образом, мы доказали, что n! ≤ n^n для всех натуральных n.
