Вопрос школьника
Докажите, что прямая, пересекающая параллельные плоскости, пересекает их под равными углами. 2) Докажите, что плоскость, пересекающая параллельные прямые, пересекает их под равными углами.
Ответ от учителя
1) Пусть даны две параллельные плоскости, обозначим их как P и Q. Пусть также дана прямая l, которая пересекает обе плоскости. Обозначим точки пересечения прямой l с плоскостью P как A и B, а с плоскостью Q как C и D. Таким образом, имеем следующую схему:
A — B
| |
C — D
Заметим, что AB и CD являются параллельными отрезками, так как лежат на параллельных плоскостях. Также заметим, что угол между прямой l и плоскостью P равен углу между отрезком AB и плоскостью P, а угол между прямой l и плоскостью Q равен углу между отрезком CD и плоскостью Q.
Теперь рассмотрим треугольники ABD и CBD. Они имеют общую сторону BD и две пары равных углов: углы ABD и CBD равны, так как они соответственные углы при параллельных прямых AB и CD, а углы BDA и BDC равны, так как они вертикальные углы. Следовательно, треугольники ABD и CBD подобны. Аналогично можно показать, что треугольники ABC и CDA подобны.
Из подобия треугольников следует, что отношение длин отрезков AB и CD равно отношению длин отрезков BD и AC. Но AB и CD параллельны, следовательно, отрезки BD и AC равны. Таким образом, отрезки AB и CD равны.
Из равенства отрезков AB и CD следует, что углы между прямой l и плоскостями P и Q равны.
2) Пусть даны две параллельные прямые, обозначим их как a и b. Пусть также дана плоскость P, которая пересекает обе прямые. Обозначим точки пересечения прямой a с плоскостью P как A и C, а с прямой b как B и D. Таким образом, имеем следующую схему:
A — C
| |
B — D
Заметим, что AB и CD являются параллельными отрезками, так как лежат на параллельных прямых. Также заметим, что угол между прямой a и плоскостью P равен углу между отрезком AC и плоскостью P, а угол между прямой b и плоскостью P равен углу между отрезком BD и плоскостью P.
Теперь рассмотрим треугольники ABD и CBD. Они имеют общую сторону BD и две пары равных углов: углы ABD и CBD равны, так как они соответственные углы при параллельных прямых AB и CD, а углы BDA и BDC равны, так как они вертикальные углы. Следовательно, треугольники ABD и CBD подобны. Аналогично можно показать, что треугольники ABC и CDA подобны.
Из подобия треугольников следует, что отношение длин отрезков AB и CD равно отношению длин отрезков BD и AC. Но AB и CD параллельны, следовательно, отрезки BD и AC равны. Таким образом, отрезки AB и CD равны.
Из равенства отрезков AB и CD следует, что углы между прямой a и плоскостью P и между прямой b и плоскостью P равны.
