Вопрос школьника
Докажите равенство прямоугольных треугольников по катетом i высотой, проведенной из вершины прямого угла
Ответ от учителя
Рассмотрим два прямоугольных треугольника ABC и ABD, где AB и AD — катеты, BC и BD — гипотенузы, а H — высота, проведенная из вершины A на гипотенузу BC.
Так как треугольник ABC прямоугольный, то по теореме Пифагора:
AB^2 + BC^2 = AC^2
Аналогично, для треугольника ABD:
AD^2 + BD^2 = AB^2
Заметим, что AB^2 в обоих уравнениях встречается с одним и тем же значением. Поэтому выразим AB^2 из первого уравнения и подставим во второе:
AD^2 + BD^2 = AC^2 — BC^2
Так как H — высота, то она делит треугольник ABC на два подобных треугольника AHB и CHB. Поэтому:
AH/AB = AB/BC
AH^2 = AB^2 — BH^2
Подставим выражение для AB^2 из первого уравнения в последнее:
AH^2 = AC^2 — BC^2 — BH^2
Так как BD = BH + HD, то выразим BH из этого уравнения:
BH^2 = BD^2 — HD^2
Подставим это выражение в предыдущее уравнение:
AH^2 = AC^2 — BC^2 — (BD^2 — HD^2)
AH^2 = AD^2 + HD^2 — BC^2
Таким образом, мы получили равенство прямоугольных треугольников ABC и ABD по катетам AB и AD и высоте H, проведенной из вершины A на гипотенузу BC:
AD^2 + BD^2 = AC^2 — BC^2 = AD^2 + HD^2 — BC^2
Или, эквивалентно:
BD^2 + BC^2 = HD^2 + AC^2
Что и требовалось доказать.
