Вопрос школьника
Докажите теорему о серединном перпендикуляре отрезка (прямая и обратная)
Ответ от учителя
Теорема о серединном перпендикуляре отрезка утверждает, что для любого отрезка AB существует единственная прямая, проходящая через его середину M и перпендикулярная ему.
Доказательство прямой теоремы:
1. Пусть AB — отрезок, M — его середина. Проведем через M прямую l, перпендикулярную AB.
2. Предположим, что существует другая прямая l’, также проходящая через M и перпендикулярная AB.
3. Рассмотрим точки C и D, лежащие на l и l’ соответственно, и такие, что MC = MD.
4. Так как l и l’ перпендикулярны AB, то AC и BD также перпендикулярны AB.
5. Из пункта 4 следует, что ACBD — параллелограмм.
6. Так как MC = MD, то точки C и D лежат на одной окружности с центром в M.
7. Из пункта 6 следует, что угол CMD равен углу CMB.
8. Так как ACBD — параллелограмм, то угол CMB равен углу ABD.
9. Из пунктов 7 и 8 следует, что угол CMD равен углу ABD.
10. Но угол CMD — это угол между прямыми l и l’, а угол ABD — это угол между прямыми AB и l’.
11. Из пункта 9 следует, что угол между прямыми l и l’ равен углу между прямыми AB и l’.
12. Но это возможно только если l и l’ совпадают.
13. Следовательно, прямая, проходящая через середину отрезка AB и перпендикулярная ему, единственна.
Доказательство обратной теоремы:
1. Пусть l — прямая, проходящая через середину отрезка AB и перпендикулярная ему.
2. Пусть C — произвольная точка на l.
3. Проведем через C прямую, параллельную AB, и обозначим ее через CD.
4. Так как CD || AB, то угол MCD равен углу MAB.
5. Но угол MAB — это угол между прямыми AB и l, а угол MCD — это угол между прямыми l и CD.
6. Из пункта 4 следует, что угол между прямыми AB и l равен углу между прямыми l и CD.
7. Но это возможно только если CD перпендикулярна l.
8. Следовательно, для любой точки C на прямой l, CD будет перпендикулярна l.
9. Но это означает, что l является серединным перпендикуляром отрезка AB.
10. Следовательно, любая прямая, проходящая через середину отрезка AB и перпендикулярная ему, является единственной.
