Вопрос школьника
Два угла треугольника равны 80° и 70°. Под каким углом видна каждая его сторона из центра вписанной в него окружности.
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нам понадобится знание о том, что вписанная окружность треугольника касается каждой его стороны в точке, которая является серединой отрезка, соединяющего вершину треугольника с центром вписанной окружности.
Пусть ABC — треугольник, вписанный в окружность с центром O и радиусом R. Пусть точки D, E и F — это точки касания вписанной окружности с сторонами AB, BC и AC соответственно. Тогда мы можем провести отрезки OD, OE и OF, которые будут являться радиусами вписанной окружности. Также мы можем провести отрезки AO, BO и CO, которые будут являться радиусами описанной окружности.
Теперь рассмотрим сторону AB. Она соединяет вершины A и B треугольника. Пусть точка M — это середина стороны AB. Тогда мы можем провести отрезок OM, который будет перпендикулярен стороне AB и проходить через точку M. Также мы можем провести отрезок OD, который является радиусом вписанной окружности и проходит через точку D — точку касания вписанной окружности со стороной AB. Тогда угол ODM будет являться углом между стороной AB и радиусом вписанной окружности, а угол OAM будет являться углом между стороной AB и радиусом описанной окружности.
Таким образом, чтобы найти угол между стороной AB и радиусом вписанной окружности, нам нужно найти угол ODM. Заметим, что треугольник ODM является прямоугольным, так как OD — радиус вписанной окружности, а OM — середина стороны AB. Тогда угол ODM будет равен углу DOM, который можно найти по теореме косинусов:
cos(DOM) = (OD^2 + OM^2 — DM^2) / (2 * OD * OM)
Заметим, что OD = R, где R — радиус вписанной окружности, а OM = AB / 2. Также мы можем найти DM, используя теорему Пифагора в треугольнике ABD:
DM^2 = AB^2 — 4 * (AD^2) = AB^2 — 4 * ((1/2) * AB * BD * sin(A/2)^2) = AB^2 — AB * BD * sin(A/2)^2
Здесь A — угол между сторонами AB и AC, а BD — расстояние от точки D до вершины B. Мы можем найти BD, используя теорему косинусов в треугольнике BDC:
cos(BDC) = (BD^2 + DC^2 — BC^2) / (2 * BD * DC)
Заметим, что DC = R, где R — радиус вписанной окружности, а BC = AB. Также мы можем найти угол BDC, используя теорему косинусов в треугольнике BDC:
cos(BDC) = (BD^2 + R^2 — AB^2) / (2 * BD * R)
Тогда мы можем найти BD, подставив выражение для cos(BDC) в выражение для BD^2:
BD^2 = R^2 — (AB^2 / 4) + (AB^2 / 4) * sin(A/2)^2
Теперь мы можем подставить найденные значения в выражение для cos(DOM) и найти угол ODM:
cos(DOM) = (R^2 + (AB^2 / 4) — (R^2 — (AB^2 / 4) + (AB^2 / 4) * sin(A/2)^2) — AB^2 / 4) / (2 * R * AB / 2)
cos(DOM) = (AB^2 / 4 + AB^2 / 4 * sin(A/2)^2) / (R * AB)
cos(DOM) = (1/4) * (1 + sin(A/2)^2) / (R / AB)
Таким образом, угол между стороной AB и радиусом вписанной окружности будет равен arccos((1/4) * (1 + sin(A/2)^2) / (R / AB)).
Аналогично можно найти угол между сторонами BC и AC и радиусами вписанной и описанной окружностей.
