Вопрос школьника
Движение частицы по криволинейной траектории задано уравнениями:
x = At3 ; y = Bt; (А = 1м/с3, В = 2 м/с).
Найдите для момента времени t1 = 0,8с: а) уравнение траектории частицы; б) её скорость; в) модуль полного ускорения; г) перемещение частицы.
Ответ от учителя
а) Уравнение траектории частицы задано как x = At^3 и y = Bt. Подставляя значение t1 = 0,8с, получаем:
x = A(0,8)^3 = 0,512 м
y = B(0,8) = 1,6 м
Таким образом, уравнение траектории частицы в момент времени t1 = 0,8с будет:
y = 2x/5
б) Скорость частицы можно найти, взяв производную от уравнения траектории по времени:
dx/dt = 3At^2
dy/dt = B
Подставляя значения A = 1м/с^3, B = 2м/с и t1 = 0,8с, получаем:
dx/dt = 3(1)(0,8)^2 = 1,92 м/с
dy/dt = 2 м/с
Таким образом, скорость частицы в момент времени t1 = 0,8с будет:
v = √(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 = √(1,92^2 + 2^2) ≈ 2,23 м/с
в) Модуль полного ускорения можно найти, взяв производную от скорости по времени:
dv/dt = d/dt(√(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2)
Используя цепное правило дифференцирования, получаем:
dv/dt = (dx/dt)(d^2x/dt^2) + (dy/dt)(d^2y/dt^2)
Для нахождения вторых производных, берем производную от уравнений траектории:
d^2x/dt^2 = 6At
d^2y/dt^2 = 0
Подставляя значения, получаем:
dv/dt = (1,92)(6(0,8)) + (2)(0) ≈ 11,52 м/с^2
Таким образом, модуль полного ускорения частицы в момент времени t1 = 0,8с будет:
a = |dv/dt| ≈ 11,52 м/с^2
г) Перемещение частицы можно найти, интегрируя скорость по времени:
Δx = ∫(dx/dt)dt = ∫3At^2dt = A(0,8)^3 = 0,512 м
Δy = ∫(dy/dt)dt = Bt = 1,6 м
Таким образом, перемещение частицы в момент времени t1 = 0,8с будет:
Δs = √(Δx)^2 + (Δy)^2 = √(0,512^2 + 1,6^2) ≈ 1,68 м
