Вопрос школьника
Горизонтальный вал вращается с угловой скоростью со. Шарик массой m прикреплён к валу посредствам двух нитей длиной L каждая (рис. 2.176). Угол между нитями составляет 2а. Найти натяжение нитей в верхней и нижней траектории шарика, считая, что нити не провисают во время движения.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Пусть шарик находится на высоте h относительно горизонтального уровня, тогда его потенциальная энергия равна mgh, где m — масса шарика, g — ускорение свободного падения, а кинетическая энергия равна (1/2)mv^2, где v — скорость шарика.
При движении по верхней траектории шарик движется против гравитации, поэтому его потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая энергия уменьшается. При движении по нижней траектории наоборот — потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая энергия увеличивается.
Натяжение нитей можно найти из условия равенства центробежной силы и силы тяжести. Центробежная сила равна mv^2/L, где L — длина нити, а сила тяжести равна mg.
Таким образом, закон сохранения энергии для движения шарика по верхней траектории имеет вид:
mgh = (1/2)mv^2 + 2T,
где T — натяжение нитей. Здесь мы учитываем, что на шарик действуют две нити.
Аналогично, для движения по нижней траектории:
mgh = (1/2)mv^2 — 2T.
Решая эти уравнения относительно T, получаем:
Tверх = m(g + v^2/2L)cos(α),
Tниз = m(g — v^2/2L)cos(α),
где α — угол между нитями, v — скорость шарика.
Заметим, что скорость шарика на верхней и нижней траекториях различна. Для ее нахождения воспользуемся законом сохранения момента импульса. Пусть I — момент инерции шарика относительно оси вращения, тогда:
Iω = mvr,
где ω — угловая скорость вала, r — радиус вала.
С другой стороны, центробежная сила, действующая на шарик, равна mv^2/L. Поэтому:
mv^2/L = Iω^2/r^2.
Из этих двух уравнений можно выразить скорость шарика:
v^2 = Iω^2/L^2r^2.
Подставляя это выражение в формулы для натяжения нитей, получаем:
Tверх = m(g + Iω^2/2L^2)cos(α),
Tниз = m(g — Iω^2/2L^2)cos(α).
Таким образом, для нахождения натяжения нитей необходимо знать угловую скорость вала, массу и момент инерции шарика, угол между нитями и длину нитей.
