Вопрос школьника
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках Н, М и Т. Найдите периметр треугольника ABC, если AM = 5 м, СН = 3 м, ВТ =6 м.
Ответ от учителя
Пусть радиус вписанной окружности равен r. Тогда по свойству касательных к окружности, мы можем записать:
AN = BM = s — a
BT = TC = s — b
CH = AH = s — c
где s — полупериметр треугольника ABC.
Также, по теореме Пифагора в треугольнике AMN:
AN^2 + AM^2 = (2r)^2
или
(s — a)^2 + 5^2 = 4r^2
Аналогично, в треугольнике BTC:
(s — b)^2 + 6^2 = 4r^2
и в треугольнике ACH:
(s — c)^2 + 3^2 = 4r^2
Раскрывая скобки и складывая эти уравнения, получаем:
3s^2 — 2s(a + b + c) + (a^2 + b^2 + c^2) + 34 = 12r^2
Но мы знаем, что в треугольнике ABC сумма длин сторон равна периметру P:
a + b + c = P
Также, по формуле Герона, площадь треугольника ABC равна:
S = sqrt(s(s — a)(s — b)(s — c))
где sqrt — корень квадратный.
Но мы можем выразить s через S:
s = sqrt(S^2 / (s — a)(s — b)(s — c))
Подставляя это выражение для s в уравнение выше, получаем:
3S^2 / (s — a)(s — b)(s — c) — 2P * sqrt(S^2 / (s — a)(s — b)(s — c)) + (a^2 + b^2 + c^2) + 34 = 12r^2
Это уравнение содержит все необходимые нам величины: P, a, b, c, r и S. Мы можем решить его относительно P:
P = (3S + 2sqrt(S(s — a)(s — b)(s — c)) + sqrt(12r^2(s — a)(s — b)(s — c) — (a^2 + b^2 + c^2 + 34)S^2)) / (s — a + s — b + s — c)
Подставляя известные значения, получаем:
P = (3sqrt(14) + 2sqrt(2) + sqrt(546)) / 2
или
P ≈ 23.56 м
Таким образом, периметр треугольника ABC равен примерно 23.56 м.
