Вопрос школьника
Как найти неизвестную сторону треугольника, если известны две его стороны и медиана на третью сторону?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи можно использовать теорему о медиане треугольника, которая гласит: медиана треугольника делит соответствующую ей сторону пополам и образует с этой стороной угол, равный углу, противолежащему вершине, к которой проведена медиана.
Итак, пусть известны стороны a и b треугольника и медиана m, проведенная к стороне c. Обозначим через x неизвестную сторону c.
Согласно теореме о медиане, медиана m делит сторону c пополам, то есть c = 2m. Также известно, что медиана образует с стороной c угол, равный углу, противолежащему вершине, к которой проведена медиана. Обозначим этот угол через α.
Теперь можно воспользоваться теоремой косинусов для нахождения неизвестной стороны c:
c² = a² + b² — 2ab cos(α)
Заменим в этой формуле cos(α) на выражение, использующее свойства медианы:
cos(α) = (b² + m² — a²) / 2bm
Подставим это выражение в формулу для c²:
c² = a² + b² — (b² + m² — a²) / bm
c² = (a² + b² + m²) / 2b — a²/b
Теперь осталось извлечь квадратный корень из полученного выражения:
c = √[(a² + b² + m²) / 2b — a²/b]
Таким образом, мы нашли формулу для вычисления неизвестной стороны треугольника по известным сторонам и медиане.
