Вопрос школьника
Маховик в виде диска массой m=80 кг и радиусом R=30 см находится в состоянии покоя. Какую работу A1 нужно совершить, чтобы сообщить маховику частоту n=10 с-1? Какую работу A2 пришлось бы совершить, если бы при той же массе диск имел меньшую толщину, но вдвое больший радиус?
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся формулой для кинетической энергии вращения твердого тела:
$E_{text{к}} = frac{1}{2}Iomega^2$,
где $I$ — момент инерции тела, $omega$ — угловая скорость вращения.
Момент инерции диска можно найти по формуле:
$I = frac{1}{2}mR^2$.
Тогда для данного диска момент инерции будет равен:
$I = frac{1}{2} cdot 80 cdot 0.3^2 = 3.6$ кг$cdot$м$^2$.
Чтобы сообщить диску угловую скорость $omega = 2pi n = 20pi$ рад/с, нужно совершить работу:
$A_1 = Delta E_{text{к}} = frac{1}{2}Iomega^2 — frac{1}{2}Icdot 0^2 = frac{1}{2}Iomega^2 = frac{1}{2} cdot 3.6 cdot (20pi)^2 approx 4 523$ Дж.
Теперь рассмотрим диск с меньшей толщиной, но вдвое большим радиусом. Масса диска остается прежней, равной 80 кг. Момент инерции такого диска будет равен:
$I’ = frac{1}{2}mR’^2 = frac{1}{2} cdot 80 cdot (2R)^2 = 320R^2$ кг$cdot$м$^2$.
Чтобы сообщить такому диску ту же угловую скорость $omega = 20pi$ рад/с, нужно совершить работу:
$A_2 = Delta E_{text{к}}’ = frac{1}{2}I’omega^2 — frac{1}{2}I’cdot 0^2 = frac{1}{2}I’omega^2 = frac{1}{2} cdot 320R^2 cdot (20pi)^2 approx 80 597$ Дж.
Таким образом, чтобы сообщить диску большего радиуса и меньшей толщины ту же угловую скорость, нужно совершить гораздо большую работу, чем для диска из условия. Это связано с тем, что момент инерции зависит от распределения массы в теле, и при увеличении радиуса масса распределяется на большую площадь, что увеличивает момент инерции и требует большей работы для достижения той же угловой скорости.
