Вопрос школьника
На стороне ВС треугольника АВС как на диаметре построена окружность, которая пересекает стороны АВ и АС в точках F и Т соответственно. Найдите площадь треугольника AFT, если площадь треугольника АВС равна S, а градусная мера угла ВАС равна 30°.
Ответ от учителя
Поскольку окружность построена на диаметре ВС, то угол ВАС является прямым. Также, по свойству окружности, углы АФС и АТС являются прямыми.
Рассмотрим треугольник АФТ. Он является прямоугольным, поскольку углы АФС и АТС являются прямыми. По теореме Пифагора:
$AF^2 + FT^2 = AT^2$
Также, по свойству окружности, AF = FS и AT = TS. Поэтому:
$2AF^2 = AT^2$
$AF = frac{AT}{sqrt{2}}$
Площадь треугольника АФТ равна:
$S_{AFT} = frac{1}{2}AF cdot FT = frac{1}{2} cdot frac{AT}{sqrt{2}} cdot FT$
Заметим, что треугольники АВС и АФТ имеют общую высоту, опущенную на сторону АС. Поэтому отношение их площадей равно отношению длин этой высоты к стороне АС:
$frac{S_{AFT}}{S} = frac{h_{AC}}{AC}$
Высота hAC равна:
$h_{AC} = AC cdot sin 30^circ = frac{AC}{2}$
Поэтому:
$frac{S_{AFT}}{S} = frac{frac{AC}{2}}{AC} = frac{1}{2}$
Отсюда следует, что:
$S_{AFT} = frac{1}{2}S$
Таким образом, площадь треугольника АФТ равна половине площади треугольника АВС.
