Вопрос школьника
Найдите углы выпуклого восьмиугольника, если два любых его соседних угла отличаются на 8°, а сумма двух любых его соседних углов постоянна.
Ответ от учителя
Пусть углы восьмиугольника обозначены как A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8. Тогда по условию задачи:
A2 — A1 = 8°
A3 — A2 = 8°
A4 — A3 = 8°
A5 — A4 = 8°
A6 — A5 = 8°
A7 — A6 = 8°
A8 — A7 = 8°
A1 — A8 = 8° (так как восьмиугольник выпуклый, то сумма всех углов равна 1080°, а значит A1 — A8 = 1080° — (A2 — A1 + A3 — A2 + … + A8 — A7) = 1080° — 56° = 1024°)
Также по условию задачи:
A1 + A2 + A3 = A2 + A3 + A4 = A3 + A4 + A5 = … = A8 + A1 + A2
Сложим все эти равенства и получим:
2(A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8) = 8(A1 + A2 + A3)
Отсюда следует, что A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 = 720°.
Теперь можно решить систему уравнений, состоящую из восьми уравнений A2 — A1 = 8°, A3 — A2 = 8°, …, A8 — A7 = 8° и одного уравнения A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 = 720°. Решение этой системы дает значения углов:
A1 = 120°
A2 = 128°
A3 = 136°
A4 = 144°
A5 = 152°
A6 = 160°
A7 = 168°
A8 = 112°
Проверим, что все условия задачи выполнены:
A2 — A1 = 8°
A3 — A2 = 8°
A4 — A3 = 8°
A5 — A4 = 8°
A6 — A5 = 8°
A7 — A6 = 8°
A8 — A7 = 8°
A1 — A8 = 8°
A1 + A2 + A3 = 384°
A2 + A3 + A4 = 384°
A3 + A4 + A5 = 384°
A4 + A5 + A6 = 384°
A5 + A6 + A7 = 384°
A6 + A7 + A8 = 384°
A7 + A8 + A1 = 384°
A8 + A1 + A2 = 384°
A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 = 720°
Таким образом, найдены углы выпуклого восьмиугольника: 120°, 128°, 136°, 144°, 152°, 160°, 168°, 112°.
