Вопрос школьника
Около окружности описана равнобедренная трапеция, у которой боковая сторона точкой касания делится на отрезки 4 см и 9 см. Найдите площадь трапеции.
Ответ от учителя
Пусть радиус окружности равен $r$, а основания трапеции равны $a$ и $b$, где $a$ — более короткое основание. Так как трапеция равнобедренная, то $a=b$. Пусть точка касания боковой стороны трапеции с окружностью обозначена буквой $M$, а точка пересечения диагоналей — буквой $O$ (см. рисунок).
[asy]
pair A,B,C,D,O,M;
A=(-3,0);
B=(3,0);
O=(0,0);
C=(1.5,2.598);
D=(-1.5,2.598);
M=(1.5,0);
draw(circle(O,3));
draw(A—B—C—D—cycle);
draw(C—D);
draw(O—M);
label(«$a$»,(A+D)/2,W);
label(«$b$»,(B+C)/2,E);
label(«$r$»,(O+C)/2,NE);
label(«$M$»,M,S);
label(«$O$»,O,N);
[/asy]
Так как $OM$ — радиус окружности, то $OM=r$. По условию задачи, $AM=4$ и $MB=9$, следовательно, $AB=AM+MB=4+9=13$. Так как $AB$ — основание трапеции, то $AB=2r$. Отсюда получаем, что $r=AB/2=13/2=6.5$.
Так как $a=b$, то $AB=2a$. Отсюда получаем, что $a=AB/2=6.5$. Так как $OM=r$, то $OM=6.5$. Так как $OM$ является высотой трапеции, опущенной на основание $AB$, то площадь трапеции равна $S=(a+b)OM/2=2aOM/2=aOM$. Подставляя значения $a$, $OM$ и $r$, получаем:
$$S=6.5cdot6.5cdotpi=42.25piapprox132.73.$$
Ответ: площадь трапеции равна $42.25pi$ квадратных сантиметров (или примерно 132.73 квадратных сантиметра).
