Вопрос школьника
Основание четырехугольной пирамиды SABCD — трапеция ABCD (AD || ВС). Точка E — середина ребра SD. Постройте точку T, в которой плоскость BCE пересекает прямую SA. Докажите, что отрезки TC и BE пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, если средняя линия трапеции ABCD равна 3/2 BC.
Ответ от учителя
Для построения точки T проведем плоскость BCE и найдем ее точку пересечения с прямой SA. Для этого можно воспользоваться следующими шагами:
1. Найдем точку пересечения прямых BC и AE. Так как точка E является серединой ребра SD, то отрезок AE делит его пополам. Значит, точка A лежит на отрезке SE, и мы можем записать:
AE = ES = 1/2 SD
Также заметим, что треугольник AED подобен треугольнику SDC, так как они имеют два равных угла (по условию пирамиды) и общий угол при вершине D. Значит, мы можем записать:
AD/SD = AE/SC
AD/SD = 1/2
SC = 2AE = SD
Теперь мы можем найти точку пересечения прямых BC и AE. Для этого можно воспользоваться формулой пересечения прямых:
x = (b1*c2 — b2*c1)/(b1*a2 — b2*a1)
где x — координата точки пересечения по оси X, a1 и a2 — коэффициенты при X в уравнениях прямых, b1 и b2 — коэффициенты при Y, c1 и c2 — свободные члены.
В нашем случае уравнения прямых имеют вид:
BC: x = 0, y = BC
AE: x = 1/2 SD, y = 0
Подставляя значения коэффициентов и свободных членов, получаем:
x = (0*1/2 SD — BC*0)/(0 — 1/2 SD) = 1/2 SD
y = BC
Таким образом, точка пересечения прямых BC и AE имеет координаты (1/2 SD, BC).
2. Найдем уравнение плоскости BCE. Для этого можно воспользоваться тремя точками: B, C и E. Заметим, что точка E лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC, поэтому векторы BE и CE являются радиус-векторами плоскости. Также заметим, что векторы BE и BC лежат в плоскости ABCD, поэтому их векторное произведение будет нормалью к плоскости BCE. Таким образом, мы можем записать уравнение плоскости в виде:
BE * CE * (x — Bx, y — By, z — Bz) = 0
где BE = (Ex — Bx, Ey — By, Ez — Bz), CE = (Cx — Bx, Cy — By, Cz — Bz), (x, y, z) — произвольная точка на плоскости.
Подставляя координаты точек B, C и E, получаем:
(Ex — Bx, Ey — By, Ez — Bz) * (Cx — Bx, Cy — By, Cz — Bz) * (x — Bx, y — By, z — Bz) = 0
(1/2 SD, 0, 0) * (0, BC, 0) * (x, y, z — Ez) = 0
1/2 SD * BC * (y — By) = 0
y = By
Таким образом, уравнение плоскости BCE имеет вид y = By, то есть она параллельна плоскости ABCD и проходит через точку B.
3. Найдем точку пересечения плоскости BCE и прямой SA. Для этого можно воспользоваться уравнением прямой SA:
x = t, y = t/TD * (BD — AD), z = t/TD * SD
где TD = sqrt(BD^2 + SD^2), BD = CD, AD = BC.
Подставляя уравнение прямой в уравнение плоскости, получаем:
t/TD * (BD — AD) = By
t/TD * BD = BC
t/TD * SD = 0
Отсюда находим t:
t = TD * By/(BD — AD) = TD * 3/2
Таким образом, точка пересечения плоскости BCE и прямой SA имеет координаты (3/2 TD, 3/2 TD * BC/(BD — AD), 0).
4. Докажем, что отрезки TC и BE пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Для этого заметим, что точка T является серединой отрезка SA, а точка E — серединой отрезка SD. Значит, отрезок TE параллелен отрезку AD и равен ему вдвое. Также заметим, что отрезки TC и BE лежат в плоскости BCE, поэтому их пересечение будет лежать на прямой, проходящей через точки B и E. Значит, достаточно доказать, что точка пересечения отрезков TE и BC лежит на этой прямой и делит отрезок BE пополам.
Пусть точка F — точка пересечения отрезков TE и BC. Тогда мы можем записать:
TF = TE/2
TF = SA/2 — SF
SF = SA/2 — TF = SA/2 — TE/2 = SD/2
Также заметим, что треугольник BCF подобен треугольнику ABC, так как у них соответственные углы равны (угол BCF равен углу ABC, так как они лежат на параллельных прямых, а угол CBF равен углу CAB, так как это углы при основании равнобедренной трапеции). Значит, мы можем записать:
BC/CF = AB/BC
CF = BC^2/AB = BC^2/(BC + AD)
Теперь мы можем выразить отрезок BF через BC и SD:
BF = BC — CF = BC — BC^2/(BC + AD)
BF = BC*(BC + AD — BC)/(BC + AD) = BC*AD/(BC + AD)
Таким образом, мы получили выражение для отрезка BF через стороны трапеции ABCD. Заметим, что это выражение не зависит от точки T, поэтому точка F лежит на прямой, проходящей через точки B и E.
Теперь осталось доказать, что точка F делит отрезок BE пополам. Для этого можно выразить отрезок EF через стороны трапеции ABCD и воспользоваться теоремой Пифагора:
EF^2 = BD^2 — (BE — BF)^2
EF^2 = BD^2 — (BE — BC*AD/(BC + AD))^2
EF^2 = BD^2 — (BC^2*(BD — AD)/(BC + AD))^2
EF^2 = BD^2 — (BC^2*(BD — AD)^2/(BC + AD)^2)
EF^2 = (BD^2*(BC + AD)^2 — BC^2*(BD — AD)^2)/(BC + AD)^2
EF^2 = 4*BC^2*AD^2/(BC + AD)^2
EF = 2*BC*AD/(BC + AD)
Таким образом, мы получили выражение для отрезка EF через стороны трапеции ABCD. Заметим, что это выражение не зависит от точки T, поэтому точка F делит отрезок BE пополам.
