Вопрос школьника
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB=20, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 24 и 10
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойством хорд, которое гласит: «Если две хорды AB и CD пересекаются в точке E внутри окружности, то произведение отрезков AE и EB равно произведению отрезков CE и ED».
Обозначим центр окружности как O. Так как расстояние от центра до хорды AB равно 24, то отрезок OA (где A — один из концов хорды AB) равен 24. Также известно, что AB = 20.
Рассмотрим хорду CD. Обозначим точку пересечения хорд AB и CD как E. Так как точка E лежит на хорде AB, то произведение отрезков AE и EB равно произведению отрезков CE и ED:
AE * EB = CE * ED
Заметим, что отрезки AE и EB равны соответственно AO — OE и BO — OE. Аналогично, отрезки CE и ED равны соответственно CO — OD и DO.
Таким образом, получаем:
(AO — OE) * (BO — OE) = (CO — OD) * DO
Раскроем скобки:
AO * BO — AO * OE — BO * OE + OE^2 = CO * DO — OD * DO
AO * BO — CO * DO = OE * (AO + BO + CO + OD) — OE^2
Заметим, что AO + BO + CO + OD равно диаметру окружности, то есть 2R, где R — радиус окружности. Таким образом,
AO * BO — CO * DO = OE * 2R — OE^2
Заметим также, что AO * BO равно квадрату длины хорды AB, то есть 20^2 = 400.
Таким образом, получаем уравнение:
400 — CO * DO = OE * 2R — OE^2
Теперь воспользуемся вторым условием задачи: расстояние от центра до хорды CD равно 10. Обозначим точку пересечения хорды CD и линии, проходящей через центр окружности и перпендикулярной хорде CD, как F. Тогда OF равен 10.
Заметим, что OE равно разности OF и FE:
OE = OF — FE
FE равно половине длины хорды CD, то есть FE = CD/2.
Таким образом,
OE = 10 — CD/2
Подставляем это выражение в уравнение:
400 — CO * DO = (10 — CD/2) * 2R — (10 — CD/2)^2
Раскрываем квадрат:
400 — CO * DO = (10 — CD/2) * 2R — 100 + 10CD — CD^2/4
Переносим все слагаемые на одну сторону:
CD^2/4 — 10CD + 2R * CD + CO * DO — 300 = 0
Это квадратное уравнение относительно CD. Решаем его с помощью дискриминанта:
D = 10^2 — 4 * 1 * (2R * CO * DO — 300)
D = 100 — 8R * CO * DO + 1200
D = 1300 — 8R * CO * DO
Так как D должен быть неотрицательным, то получаем условие:
8R * CO * DO <= 1300 Подставляем известные значения: 8 * 24 * CO * DO <= 1300 CO * DO <= 6.77 Таким образом, мы получили ограничение на произведение CO и DO. Решаем квадратное уравнение: CD^2/4 - 10CD + 2R * CD + CO * DO - 300 = 0 CD^2 - 40CD + 8R * CD + 4CO * DO - 1200 = 0 CD^2 + (8R - 40)CD + 4CO * DO - 1200 = 0 D = (8R - 40)^2 - 4 * 4CO * DO * (-1200) D = 64R^2 - 640R + 1600 + 19200CO * DO CD = (-8R + 40 ± sqrt(D))/2 Так как CD должно быть положительным, то выбираем знак "+": CD = (-8R + 40 + sqrt(D))/2 Подставляем известные значения: CD = (-8 * 24 + 40 + sqrt(64 * 24^2 - 640 * 24 + 1600 + 19200 * 24 * 10))/2 CD = (-192 + 40 + sqrt(36864 - 15360 + 1600 + 460800))/2 CD = (-152 + sqrt(480000))/2 CD = (-152 + 400)/2 CD = 124 Таким образом, длина хорды CD равна 124.
