Вопрос школьника
Периметр прямоугольника равен 28 см. Если его длину уменьшить на 3 см, а ширину увеличить на 2 см, то его площадь уменьшится на 8 см2. Какова площадь прямоугольника?
Ответ от учителя
Пусть длина прямоугольника равна $x$ см, а ширина равна $y$ см. Тогда по условию задачи имеем систему уравнений:
$$begin{cases}
2x + 2y = 28 \
(x-3)(y+2) = xy — 8
end{cases}$$
Решим первое уравнение относительно $y$:
$$y = 14 — x$$
Подставим это выражение во второе уравнение и раскроем скобки:
$$(x-3)(16-x) = xy — 8$$
$$16x — x^2 — 48 + 3x = xy — 8$$
$$xy = 27x — 56$$
Теперь подставим выражение для $y$ из первого уравнения в формулу для периметра:
$$2x + 2(14-x) = 28$$
$$x = 7$$
Тогда $y = 14 — x = 7$. Значит, исходный прямоугольник имеет размеры 7 см на 7 см, а его площадь равна $S = xy = 49$ см$^2$.
Проверим, что новый прямоугольник действительно имеет периметр 28 см и площадь, меньшую на 8 см$^2$. Длина нового прямоугольника равна $x-3 = 4$ см, а ширина равна $y+2 = 9$ см. Проверяем:
$$2cdot 4 + 2cdot 9 = 8 + 18 = 28$$
$$(4)(9) = 36 = 49 — 8$$
Ответ: площадь исходного прямоугольника равна 49 см$^2$.
