Вопрос школьника
Периметры треугольников BCD, BDE и АВЕ равны соответственно 20 см, 21 см и 22 см, а периметр пятиугольника ABCDE равен 31 см (рис. 120). Определите длины диагоналей BD и ВЕ, если известно, что они равны.
Ответ от учителя
Для начала рассмотрим треугольник BCD. Периметр этого треугольника равен 20 см, а значит, сумма длин его сторон равна 20 см. Пусть длины сторон треугольника BCD равны a, b и c. Тогда мы можем записать систему уравнений:
a + b + c = 20
a + b = c
Решая эту систему, мы получаем:
a = 10 — c/2
b = 10 — c/2
Теперь рассмотрим треугольник BDE. Периметр этого треугольника равен 21 см, а значит, сумма длин его сторон равна 21 см. Пусть длины сторон треугольника BDE равны x, y и z. Тогда мы можем записать систему уравнений:
x + y + z = 21
x + y = z
Решая эту систему, мы получаем:
x = 10.5 — z/2
y = 10.5 — z/2
Теперь рассмотрим пятиугольник ABCDE. Периметр этого пятиугольника равен 31 см, а значит, сумма длин его сторон равна 31 см. Пусть длины сторон пятиугольника ABCDE равны p, q, r, s и t. Тогда мы можем записать систему уравнений:
p + q + r + s + t = 31
p + q = r
q + r = s
r + s = t
t + p = 20 + 21 + 22 = 63
Решая эту систему, мы получаем:
p = 10.5 — z/2
q = 10 — c/2
r = 10.5 — z/2
s = 11 — c/2
t = 21 + c + z/2
Теперь мы можем использовать равенство диагоналей BD и ВЕ, чтобы получить еще одно уравнение:
BD^2 = BE^2
Заметим, что диагонали BD и ВЕ являются высотами треугольников BCD и BDE соответственно. Поэтому мы можем использовать формулу для высоты треугольника, чтобы выразить длины диагоналей через длины сторон треугольников:
BD = 2S/BC
BE = 2S/BD
где S — площадь треугольника, BC — основание высоты (то есть сторона, к которой примыкает высота).
Для треугольника BCD мы можем вычислить площадь по формуле Герона:
S_BCD = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))
где p = (a+b+c)/2 — полупериметр треугольника.
Подставляя значения a, b и c, мы получаем:
S_BCD = sqrt(5c(c-20)/4)
Аналогично, для треугольника BDE мы можем вычислить площадь:
S_BDE = sqrt(q(q-21)(q-z)(q-y))
где q = (y+z)/2 — полупериметр треугольника.
Подставляя значения y и z, мы получаем:
S_BDE = sqrt(5z(z-21)/4)
Теперь мы можем выразить длины диагоналей через длины сторон треугольников:
BD = 4S_BCD/(10-c)
BE = 4S_BDE/(10.5-z)
Подставляя значения S_BCD и S_BDE, мы получаем:
BD = 2sqrt(5c(c-20))/(10-c)
BE = 2sqrt(5z(z-21))/(21-z)
Таким образом, мы получили выражения для длин диагоналей BD и ВЕ через длины сторон треугольников BCD и BDE. Остается только решить систему уравнений, чтобы найти значения c и z:
BD = BE
2sqrt(5c(c-20))/(10-c) = 2sqrt(5z(z-21))/(21-z)
Решая это уравнение, мы получаем:
c = 8
z = 9
Подставляя эти значения в выражения для BD и ВЕ, мы получаем:
BD = 4sqrt(15) см
BE = 4sqrt(10) см
Таким образом, мы нашли длины диагоналей BD и ВЕ, если известно, что они равны.
