Вопрос школьника
Стороны KL и KM треугольника KLM соответственно равны 14 и 15. На стороне KL выбрана такая точка A, что KA : AL = 3 : 4, а на стороне KM — такая точка B, что KB : BM = 2 : 3. Определите, в каком отношении биссектриса угла K делитотрезок AB.
Ответ от учителя
Для начала найдем длину стороны LM. Используем теорему косинусов для треугольника KLM:
$$
LM^2 = KL^2 + KM^2 — 2 cdot KL cdot KM cdot cos angle K
$$
Так как треугольник KLM равнобедренный, то $angle K = frac{180^circ — angle LKM}{2}$. Найдем угол $angle LKM$ с помощью теоремы косинусов для треугольника KLM:
$$
cos angle LKM = frac{KL^2 + KM^2 — LM^2}{2 cdot KL cdot KM} = frac{14^2 + 15^2 — LM^2}{2 cdot 14 cdot 15}
$$
Отсюда получаем:
$$
angle LKM = arccos frac{14^2 + 15^2 — LM^2}{2 cdot 14 cdot 15} approx 63.4^circ
$$
Тогда $angle K = frac{180^circ — 63.4^circ}{2} = 58.3^circ$.
Теперь найдем длины отрезков KA, AL, KB и BM. Пусть $x$ — длина отрезка KA, тогда длина отрезка AL равна $4x/3$. Аналогично, пусть $y$ — длина отрезка KB, тогда длина отрезка BM равна $3y/2$. Из условия задачи получаем систему уравнений:
$$
begin{cases}
x + 4x/3 = 14 \
y + 3y/2 = 15 \
end{cases}
$$
Решая ее, получаем $x = 6$ и $y = 6$. Тогда длина отрезка AB равна $KA + AB + BM = x + 2y = 18$.
Наконец, найдем точку пересечения биссектрисы угла K с отрезком AB. Обозначим эту точку через C. Пусть $t$ — длина отрезка KC, тогда длина отрезка BC равна $18 — t$. Из подобия треугольников KAC и KLB получаем:
$$
frac{t}{x} = frac{18 — t}{y}
$$
Отсюда получаем $t = 6cdot 18/11 approx 9.8$. Тогда отношение, в котором биссектриса делит отрезок AB, равно:
$$
frac{AC}{CB} = frac{t}{18 — t} approx 0.35 : 0.65
$$
Ответ: биссектриса угла K делит отрезок AB в отношении примерно 0.35 : 0.65.
