Вопрос школьника
Стороны PO и SO треугольника POS пересекают сторону QR параллелограмма PQRS в точках A и B, причем точка A — середина отрезка РО (рис. 242). Докажите, что треугольник POS и параллелограмм PQRS равновелики.
Ответ от учителя
Для доказательства равновеликости треугольника POS и параллелограмма PQRS нужно показать, что их площади равны.
Площадь треугольника POS можно вычислить по формуле: S1 = 0.5 * PO * PS * sin(OPS)
Площадь параллелограмма PQRS можно вычислить по формуле: S2 = PQ * PS * sin(QPS)
Заметим, что треугольник POS и параллелограмм PQRS имеют общую высоту, которая проходит через точку P и параллельна стороне QR. Также точка A является серединой стороны PO.
Из этого следует, что отрезки PA и AQ равны между собой, так как они являются биссектрисами угла OPS. Также отрезки PB и BQ равны между собой, так как они являются биссектрисами угла QPS.
Таким образом, мы можем записать следующие равенства:
PA = AQ
PB = BQ
PO = 2 * PA
PQ = 2 * PB
Подставляя эти равенства в формулы для площадей треугольника POS и параллелограмма PQRS, получаем:
S1 = 0.5 * 2 * PA * PS * sin(OPS) = PA * PS * sin(OPS)
S2 = 2 * PB * PS * sin(QPS) = PB * PS * sin(QPS)
Так как углы OPS и QPS равны между собой (они смежные вертикальные углы), то sin(OPS) = sin(QPS). Подставляя это равенство в формулы для площадей, получаем:
S1 = PA * PS * sin(OPS) = PB * PS * sin(QPS) = S2
Таким образом, мы доказали, что площади треугольника POS и параллелограмма PQRS равны между собой. Следовательно, эти фигуры равновелики.
