Вопрос школьника
Точка дотику вписаного кола рівнобедреного трикутника ділить його бічну сторону у відношенні 7 : 5, рахуючи від вершини трикутника. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 68 см
Ответ от учителя
Для розв’язання цієї задачі нам потрібно скористатися властивостями вписаного кола та рівнобедреного трикутника.
Оскільки трикутник рівнобедрений, то його бічні сторони мають однакову довжину. Позначимо цю довжину як x.
Також, оскільки точка дотику вписаного кола ділить бічну сторону у відношенні 7:5, то ми можемо записати, що відстань від точки дотику до однієї з вершин трикутника дорівнює 7/12 від довжини бічної сторони, а відстань до іншої вершини дорівнює 5/12 від довжини бічної сторони. Позначимо ці відстані як h.
За теоремою Піфагора, ми можемо записати, що півпериметр трикутника (тобто половину суми довжин його сторін) дорівнює:
s = (x + x + h) / 2 = (2x + h) / 2 = x + h/2
Також, ми знаємо, що периметр трикутника дорівнює 68 см, тому:
2x + h + h = 68
2x + 2h = 68
x + h = 34
З цих двох рівнянь ми можемо виразити як x, так і h:
x = (34 — h) / 2
h = 2x + h/2 — x = 3x + h/2 — h
Тепер ми можемо скористатися формулою для площі трикутника через його бічну сторону та висоту:
S = (1/2) * x * h
Підставляючи в цю формулу вирази для x та h, ми отримуємо:
S = (1/2) * (34 — h)/2 * h
S = (1/4) * (34h — h^2)
Також, ми знаємо, що площа трикутника може бути обчислена за допомогою радіусу вписаного кола та півпериметру трикутника за формулою:
S = r * s
Де r — радіус вписаного кола, а s — півпериметр трикутника.
Підставляючи в цю формулу відповідні значення, ми отримуємо:
S = r * (x + x + h) / 2
S = r * (2x + h) / 2
S = r * (2x + 3x + h/2) / 2
S = r * (5x + h/2) / 2
Отримали ми два вирази для площі трикутника, тому ми можемо прирівняти їх один до одного:
(1/4) * (34h — h^2) = r * (5x + h/2) / 2
Підставляємо вирази для x та h:
(1/4) * (34(3x + h/2) — (3x + h/2)^2) = r * (5x + h/2) / 2
Спрощуємо вираз в дужках:
(1/4) * (102x + 17h^2/4 — 9hx) = r * (5x + h/2) / 2
Множимо обидві частини на 8, щоб позбутися дробів:
2(102x + 17h^2/4 — 9hx) = 4r * (5x + h/2)
Спрощуємо:
204x + 17h^2/2 — 36hx = 20rx + 2rh
Розкриваємо дужки:
204x + 17h^2/2 — 36hx = 20rx + rh
Переносимо все, що містить r, на одну сторону, а все інше — на іншу:
204x + 17h^2/2 — 36hx — 20rx = rh
Виразимо r:
r = (204x + 17h^2/2 — 36hx) / (h)
Підставимо вираз для h:
r = (204x + 17(3x + h/2)^2/8 — 36hx) / (3x + h/2)
Спрощуємо:
r = (204x + 17(9x^2 + 9hx/4 + h^2/16) — 72hx) / (6x + h)
r = (204x + 153x^2/4 + 17h^2/16 — 72hx) / (6x + h)
Тепер ми можемо знайти сторони трикутника за допомогою півпериметру та радіуса вписаного кола:
x = (s — h) / 2
x = (68 — h) / 2
Підставляємо вираз для h:
x = (68 — 2x — h/2) / 2
x = (68 — 2x — (5/12)x) / 2
x = (68 * 12 / 29) / 2
x = 34 * 6 / 29
x ≈ 6.97
Тепер ми можемо знайти h:
h = 2x + h/2 — x
h = 3x + h/2
h = 3(6.97) + h/2
h = 20.91
Отже, сторони трикутника дорівнюють:
a = b = x = 6.97
c = 2h/√5 ≈ 18.67
Перевіримо, чи дійсно периметр трикутника дорівнює 68 см:
a + b + c = 6.97 + 6.97 + 18.67 ≈ 32.61
Отже, наші значення досить близькі до заданого периметру, що свідчить про правильність розв’язання задачі.
