Вопрос школьника
В правильной треугольной пирамиде расстояние от вершины основания до плоскости, в которой лежит боковая грань пирамиды, равно а. Каждый двугранный угол при основании пирамиды равен ф. Найдите объем вписанного в пирамиду конуса.
Ответ от учителя
Рассмотрим правильную треугольную пирамиду с основанием ABC и вершиной S. Пусть H – проекция вершины S на плоскость основания ABC, а M – середина ребра AB.
Так как треугольник ABC – равносторонний, то HM = AB/2 = a/2. Также из условия задачи известно, что SH = a.
Рассмотрим плоскость, проходящую через ребро SA и перпендикулярную плоскости основания ABC. Эта плоскость делит пирамиду на две части: вершинный конус и усеченную пирамиду.
Обозначим через O центр вписанного в вершинный конус шара. Так как угол при вершине пирамиды равен 60 градусам, то угол между ребром SA и плоскостью основания ABC также равен 60 градусам. Значит, треугольник SOM – равносторонний, и OM = a/2.
Также заметим, что точка O лежит на высоте вершинного конуса, проходящей через точку S. Значит, расстояние от точки O до плоскости основания ABC равно SH – SO = a – r, где r – радиус вписанного в конус шара.
Из треугольника SOM получаем, что r = OM * tg(30 градусов) = a/2 * √3/3.
Теперь можем найти объем вершинного конуса:
V = 1/3 * π * r^2 * h = 1/3 * π * (a/2 * √3/3)^2 * a/2 = π/27 * a^3.
Ответ: объем вписанного в пирамиду конуса равен π/27 * a^3.
