Вопрос школьника
В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую из боковых сторон трапеции на отрезки 4 см и 25 см. Найдите площадь трапеции
Ответ от учителя
Пусть трапеция имеет основания $a$ и $b$, а боковые стороны равны $c$ и $d$. Пусть $r$ — радиус вписанной окружности, а $h$ — расстояние от меньшего основания до точки касания окружности с боковой стороной.
Так как точка касания делит большую из боковых сторон на отрезки 4 см и 25 см, то $c+d=4+25=29$.
Также из свойств вписанной окружности известно, что $h=r$.
Из подобия треугольников можно выразить $h$ через основания трапеции:
$$frac{h}{a}=frac{r}{c} quad Rightarrow quad h=frac{ar}{c}$$
$$frac{h}{b}=frac{r}{d} quad Rightarrow quad h=frac{br}{d}$$
Сравнивая два полученных выражения для $h$, получаем:
$$frac{ar}{c}=frac{br}{d} quad Rightarrow quad frac{a}{c}=frac{b}{d}$$
Таким образом, трапеция является пропорциональной, и ее площадь можно выразить через основания:
$$S=frac{(a+b)h}{2}=frac{(a+b)r}{2}=frac{(a+b)c}{2}cdotfrac{r}{c}=frac{(a+b)c}{2}cdotfrac{a}{c}=frac{a^2+ab}{2}$$
Используя известные значения $c+d=29$ и $a+d=25$, можно выразить $a$ и $b$:
$$a+d=25 quad Rightarrow quad a=25-d$$
$$c+d=29 quad Rightarrow quad c=29-d$$
Подставляя эти значения в формулу для площади, получаем:
$$S=frac{(25-d)^2+(25-d)(d)}{2}=frac{625-50d+d^2}{2}$$
Для нахождения максимальной площади трапеции нужно найти максимум функции $S(d)$, что можно сделать, взяв производную и приравняв ее к нулю:
$$S'(d)=frac{d(50-d)}{2}=0 quad Rightarrow quad d=25$$
Таким образом, максимальная площадь трапеции достигается при $d=25$, и ее значение равно:
$$S=frac{625-50cdot25+25^2}{2}=300$$
Ответ: площадь трапеции равна 300 квадратных сантиметров.
