Вопрос школьника
Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату его третьей стороны, то этот треугольник прямоугольный. 1) Проверьте, являются ли прямоугольными треугольники со сторонами: а) 1/3, 4/5 и 13/15 см; б) 3/5, 4/5 и 1 см. 2) Найдите периметры и площади треугольников.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Таким образом, если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату его третьей стороны, то треугольник прямоугольный.
1) Проверим, являются ли прямоугольными треугольники со сторонами:
а) 1/3, 4/5 и 13/15 см
Для этого найдем квадраты длин сторон и проверим, выполняется ли теорема Пифагора для этого треугольника:
(1/3)^2 + (4/5)^2 = 1/9 + 16/25 = 41/225
(13/15)^2 = 169/225
41/225 + 169/225 = 210/225 = 14/15
Квадрат гипотенузы не равен сумме квадратов катетов, поэтому этот треугольник не является прямоугольным.
б) 3/5, 4/5 и 1 см
(3/5)^2 + (4/5)^2 = 9/25 + 16/25 = 25/25 = 1
1^2 = 1
1 + 1 = 2
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, поэтому этот треугольник является прямоугольным.
2) Найдем периметры и площади треугольников.
а) Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:
P = 1/3 + 4/5 + 13/15 = 5/15 + 12/15 + 13/15 = 30/15 = 2 см
Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:
p = P/2 = 1 см
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) = sqrt(1/2 * 2/3 * 1/5 * 4/15) = sqrt(1/225) = 1/15 см^2
б) Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:
P = 3/5 + 4/5 + 1 = 12/5 см
Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:
p = P/2 = 6/5 см
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) = sqrt(6/5 * 2/5 * 1/5 * 3/5) = sqrt(36/1875) = 6/25 см^2
Таким образом, периметры треугольников равны 2 см и 12/5 см, а площади равны 1/15 см^2 и 6/25 см^2 соответственно.
