Вопрос школьника
На доске ВА (рис. 40) укреплен на вертикальной стойке, отстающей от оси вращения на расстоянии d = 5 см, отвес. Доска равномерно вращается вокруг вертикальной оси ОО’. Какова частота обращения доски, если нить отвеса длиной l = 8 см отклонилась от вертикали на угол α = 40°?
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии. При вращении доски ее кинетическая энергия равна потенциальной энергии, которую имеет нить отвеса. Потенциальная энергия нити отвеса равна mgh, где m — масса отвеса, g — ускорение свободного падения, h — высота подъема отвеса над точкой подвеса.
Выразим высоту h через угол α и длину нити l: h = l(1 — cosα).
Тогда потенциальная энергия нити отвеса будет равна mgl(1 — cosα).
Кинетическая энергия доски равна (1/2)Iω^2, где I — момент инерции доски относительно оси вращения, ω — угловая скорость вращения.
Момент инерции доски можно выразить через ее массу M и расстояние d от оси вращения до точки крепления нити отвеса: I = Md^2.
Тогда закон сохранения энергии запишется в виде:
mgl(1 — cosα) = (1/2)Md^2ω^2
Отсюда выразим угловую скорость:
ω = sqrt(2mgl(1 — cosα) / Md^2)
Подставим известные значения:
ω = sqrt(2 * 0.008 * 9.81 * 0.08 * (1 — cos40°) / (0.5 * 0.5^2)) ≈ 2.45 рад/с
Частота обращения доски будет равна:
f = ω / (2π) ≈ 0.39 Гц
